Cube and Cube Root

घन और घनमूल 

एक संख्या x को स्वयं से ही तीन बार गुणा करने पर प्राप्त गुणनफल (x×x×x) संख्या x का घन (Cube) कहलाता है। तथा x गुणनफल का घनमूल (Cube Root) कहलाता है।  x के घन को x³  द्वारा तथा x के घनमूल को ∛x द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। 

जैसे : 4 का घन = 4³  = 4×4×4 = 64

तथा  64 का घनमूल = ∛64 = 64^1/3 = 4 होता है। 

घन और घनमूल के तथ्य को और अधिक समझने के लिए नीचे एक सारणी दी गई है इसे ध्यान से देखें-

• 1, 8, 27, 64, 125, 216......  आदि संख्याएँ पूर्ण घन (Perfect Cube) संख्याएँ कहलाती है। 
• घन और घनमूल (Cube and Cube Root) के प्रश्नों को शीघ्रता से हल करने के लिए निम्नलिखित सारणी याद करना जरूरी है। 

संख्या	घन
11	11	×	11	×	11	=	1331
12	12	×	12	×	12	=	1728
13	13	×	13	×	13	=	2197
14	14	×	14	×	14	=	2744
15	15	×	15	×	15	=	3375
16	16	×	16	×	16	=	4096
17	17	×	17	×	17	=	4913
18	18	×	18	×	18	=	5832
19	19	×	19	×	19	=	6859
20	20	×	20	×	20	=	8000

• किसी संख्या का घनमूल (Square Root) अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा ज्ञात करते है। जैसे 216 का घनमूल नीचे दर्शाया गया है। 

216 = 2×2×2×3×3×3

∛216 = 2×3 = 6 Ans.

प्रश्न एक घनाकार टंकी की एक भुजा ज्ञात करें जिसका आयतन 2197 m³ है।
हल : घनाकार टंकी की भुजा = ∛(आयतन) = ∛2197 = 13 m

नोट: यहाँ अभाज्य गुणांखंडों के तीन- तीन एक जैसे अंकों के ग्रुप बनाए जाते है। और घनमूल के लिए एक ग्रुप का एक अंक ले लिया जाता है और गुना कर दी जाती है, इस प्रकार हमे दी गई संख्या का घनमूल प्राप्त हो जाता है। 

• यदि किसी संख्या के अभाज्य गुणांखंडों के तीन-तीन के ग्रुप (त्रिक) पूरे नहीं बनते तो वह संख्या पूर्ण घन संख्या (Perfect Square Number) नहीं है। 
• किसी संख्या को गुना/भाग  करके पूर्ण घन बनाने के लिए- उस संख्या के अभाज्य गुणनखंड बनाए जाते है , गुणनखंडों के जो त्रिक पूरे नहीं है, उनको पूरा करने के लिए जिस संख्या से गुना/भाग  करनी होती है वही पूछे गए प्रश्न का उत्तर होता है। 

प्रश्न : 68,600 को किस छोटी से छोटी संख्या से गुना की जाए कि वह पूर्ण घन संख्या बन जाए?

हल:  68,600 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 7 × 7 × 7  

यहाँ 5 की त्रिक पूरी करने के लिए एक अंक 5 की और आवश्यकता है। इसलिए 68600 को पूर्ण घन संख्या बनाने के लिए 5 से गुना करनी होगी। 

प्रश्न : 68,600 को किस छोटी से छोटी संख्या से भाग की जाए कि वह पूर्ण घन संख्या बन जाए?

हल:  68,600 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 7 × 7 × 7  

यहाँ सभी  त्रिक पूरी करने के लिए 5 × 5 को हटाया जा सकता है।  इसलिए 68600 को पूर्ण घन संख्या बनाने के लिए 25 से भाग करनी होगी।  

• एक ऐसी संख्या जिसे दो घनों के योग के रूप में दो भिन्न प्रकारों से  व्यक्त किया जा सकता है उन्हें हार्डी-रामानुजन संख्याएँ (Hardy-Ramanujan Numbers) कहा जाता है। जैसे 1729, 4104, 13832 आदि 
  
• 1729 सबसे छोटी हार्डी-रामानुजन संख्या है। 
• दशमलव वाली संख्याओं का घनमूल ज्ञात करने के लिए उसे साधारण भिन्न के  (p/q के)  रूप में लिखा जाता है। फिर अंश व हर का अलग-अलग घनमूल ज्ञात कर लिया जाता है और वापिस दशमलव  भिन्न में बदल दिया जाता है। जैसे 0.125 का घनमूल = 125/1000 का घनमूल  = 5/10 =0.5 Ans.