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Wednesday, January 4, 2017

LCM and HCF

ल. स. और म. स.

लघुतम समापवर्त्य और महतम समापवर्तक (Least Common Multiple and Highest Common Factor) प्रतियोगी परीक्षाओं की दृष्टि से अति महत्वपूर्ण Topic है। CAT, NTSE, SSC CGL, SSC CHSL, Bank PO Clerk, LIC, NIFT, CDS व अन्य कई UPSE की परीक्षाओं में इस विषय से संबन्धित प्रश्न पूछे जाते है। LCM और HCF के जुड़े कुछ मत्वपूर्ण परिभाषाएँ, सूत्र, शॉर्ट कट, पिछली परीक्षाओं में पूछे गए प्रश्न नीचे दिए गए है। 

लघुतम समापवर्त्य (LCM) : दो या दो से अधिक दी गई  संख्याओं का LCM वह छोटी से छोटी  संख्या है जिसको  दी गई संख्याएँ पूरा-पूरा विभाजित करती है। जैसे संख्याओं 12 और 18 का LCM 36 होगा क्योंकि 36 वह छोटी से छोटी संख्या है जिसे 12 और 18 पूरा-पूरा भाग देते है। 

महतम समापवर्तक (HCF) : दो या दो से अधिक दी गई  संख्याओं का HCF वह बड़ी से बड़ी संख्या है जो  दी गई संख्याओं को पूरा -पूरा विभाजित करती है। जैसे संख्याओं 12 और 18 का HCF 6 होगा क्योंकि 6 वह बड़ी से बड़ी संख्या है जो  12 और 18 को पूरा -पूरा विभाजित करती है।

संख्याओं का LCM ज्ञात करने की विधि : संख्याओं का LCM ज्ञात करने के लिए हम गुणनखंड विधि का प्रयोग करते है। जो कि निम्नलिखित उदाहरण से स्पष्ट है। 
उदाहरण : वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात करें जो  12,16,24 और 36 से पूरी-पूरी विभाजित हो । 
हल : ऐसी संख्या 12,16,24 और 36 का LCM होगी, जो कि हम इस प्रकार ज्ञात कर सकते है। 
lcm and hcf for sainik school
इस प्रकार LCM = 2×2×2×2×3×3 = 144 
इसलिए, 144 वह छोटी से छोटी संख्या है जो   12,16,24 और 36 से पूरी-पूरी विभाजित होती है। 
उदाहरण : वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात करें जो  12,16,24 और 36 से भाग देने पर प्रत्येक दशा में 5 शेष रहे। 
हल : ऐसी संख्या LCM + शेष के बराबर होती है। अत: वांछित संख्या = 144+5 =149
उदाहरण : चार घंटियाँ क्रमश: 12 मिनट, 16 मिनट, 24 मिनट और 36 मिनट के समय अंतराल पर बजती है। यदि वे सुबह 8 बजे चारों एक साथ बजती हो तो पुन: एक साथ कब बजेगी?
हल : 8बजे + LCM मिनट बाद = 8 बजे +144 मिनट = 10 बजकर 24 मिनट पर। 

संख्याओं का HCF ज्ञात करने की विधि :
(i)भाग विधि - HCF ज्ञात करने के लिए  भाग विधि एक संक्षिप्त विधि है।  जैसे 24 और 36 का HCF भाग विधि द्वारा इस प्रकार ज्ञात कर सकते है।
lcm and hcf short tricks
इस प्रकार 24 और 36 का HCF =12 है। 
(ii) गुणनखंड विधि (Prime Factorisation Method) : दो या दो से अधिक संख्याओं का HCF = उभयनिष्ट गुणांखंडों का गुणनफल
उदाहरण: 24 और 36 का HCF 
lcm and hcf for navodaya vidyalaya


घात वाली संख्याओं का LCM और HCF :
LCM = दी गई संख्याओं में संबद्ध प्रत्येक अभाज्य  गुणनखंड (Evert Prime Factor) की सबसे बड़ी घात का गुणनफल 
HCF= दी गई संख्याओं में प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड (Every Common Prime Factors) की सबसे छोटी घात का गुणनफल 
lcm and hcf of two numbers

भिन्नों का LCM और HCF : भिन्नों का LCM और HCF ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित सूत्रो का प्रयोग करते है। 
lcm and hcf of fractions
 LCM और HCF के बारे में महत्वपूर्ण बिन्दु :
  • दो संख्याओं तथा उनके LCM और HCF के बीच संबंध : पहली संख्या × दूसरी संख्या = LCM×HCF
  • नोट: उपर्युक्त सूत्र केवल दो ही संख्याओं के लिए हमेशा सत्य होता है, तीन संख्याओं के लिए नहीं। 
  • यदि कोई सवाल इस प्रकार का हो: वह बड़ी से बड़ी संख्या ज्ञात करें जो 12, 20 और 30 को पूरा-पूरा भाग दे सके, ऐसे सवालों में उत्तर के लिए  दी गई संख्याओं 12,20 और 30 का HCF ज्ञात करना होता है। 

  • यदि कोई सवाल इस प्रकार का हो: वह बड़ी से बड़ी संख्या ज्ञात करें जो 12, 20 और 30 को पूरा-पूरा भाग दे सके, ऐसे सवालों में उत्तर के लिए  दी गई संख्याओं 12,20 और 30 का HCF ज्ञात करना होता है। 
  • वह बड़ी से बड़ी संख्या ज्ञात करे जिससे यदि 38, 58 और 95 को भाग करे तो क्रमश: 2, 4 और 5 शेष रहे । ऐसे सवालों को हल करने के लिए (38-2), (58-4) और (95-5) का अर्थात 36, 54 और 90 HCF ज्ञात करते है।Ans.= 18। 
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